微積分的應用─蜂巢的秘密

"當然,上帝將最好和最完美的智慧和數學思縰賦予人類,同時也分一部分給某些無理智的動物,便它們有縰持生命的本能

      神將最好和最完美的智慧和數學思縰賦予人類,同時也分一部分給某些無理智的動物,便它們有縰持生命的本能。最令人驚嘆的是蜜蜂,蜂房是蜂蜜的容器,它是許許多多相同約六稜柱形,一固挨茪@個,中間沒有一點空隙。這種設計的優點是避免雜物的攙入,弄髒了這些純潔的產品。蜜蜂希望有勻稱規則的圖案,也就是要等邊等角的圖形。鋪滿整個平面區城的正多邊形一共只右三種:正三角形、正方形和正六邊形。蜜蜂憑看本能的智慧選擇了角最多約六邊形。因為使用同樣多的材料,六邊形比三角形和正方形具有更大的面積,從而可貯藏更多的蜜。人的智慧比蜜蜂更勝一籌,我們能夠研究更一般的問題,知道在周界相等的正多邊形中,角越多面價越大。周界相同,面積最大的平面圖形是圓。證明鋪滿平面區域的正多邊形只有三種足很容易的。事實上,正 n 邊形內角和是 (n - 2)180o ,每個角是 。要鋪滿平面而不留空隙,360o就應該是這個角的整倍數,即 k 是某一個正整數。於是 ,故 k 只可能取346。即鋪滿平面的正多邊形只有三角形、正方形和六邊形三種。

      蜂巢的奇妙結構,絕不僅僅是表面上的六邊形。進一步觀察,每一個正六浚形的洞都是一個六稜柱的巢的入口。在這些六稜柱的背面,同樣有許多形狀相同的洞。如果一組洞開口朝南,那麼另一且組洞的開口就朝北。這兩組洞彼此不相通,中間是用蠟板隔開的。奇特的地方是這些隔板是由許多大小相同的菱形組成的。這些菱形蠟板同時是另一組六稜柱洞的底,三個菱形分屬於三個相鄰的六稜柱。

      歷史上有不少學者注意到蜂房不尋常的結構。例如著名的天文學家卡普勒(Kepler,1571-1630)就指出過這種充滿空間而又對稱的蜂房的角應該和"斜方十二面體"(Rhombic Dodecahedron),也叫菱形十二面體)的角一樣。他的發現可惜未被人們所重視。

      馬拉爾迪(Giacomo Filippo Maraldi,1665-1729)是將蜂房結構問題正式提出來的第一個人。他在《蜜蜂的觀察》中指出蜂巢底部菱形的鈍角AGC110o

      另一位法國的科學家雷奧米爾作出一個猜想,他認為用這樣的角度來建造蜂房,在相同的容積下最節省材料。後來向一位瑞士數學家柯尼希請教,他證實了雷奧米爾的猜想。但計算的結果是109o26',和猜想的數值有兩分之差。人們認為蜜蜂解決這樣複雜的極值題只有兩分的誤差,是完全可以允許的。

      事倩花沒有完結,1743年,蘇格蘭數學家馬克勞林(Colin Maclaurin,1698-1746)重新研究蜂房的形狀,得到更驚人的結果。他在完全用初等幾何方法,得到最省材料的;形鈍角是109 o 28'16",和猜想的值一致。這爾的誤差,不是蜜蜂不準,而是柯尼希算錯了。後來發現也不是何尼希的錯,原來是所用的對數表印錯了。有趣的是,對數表的錯是偶然發現的,一隻船在遇難時船長是用這張表來計算經度的。

      柯尼希的方法沒有留下來,以後有很多人給出各種解法。最普通的是微分學堛漕D極值方法。因為蜂巢的圖形是由六稜柱割補而得,所以體積不變。現在要討論的問題是C取在何處,蜂巢的表面積最小。

      記 a = AB b = AA' S =六稜柱體的表面面積 ,經過一連串的數學演算 (包括使用三角學和幾何學) 我們得到 。使用微積分我們便可以知道當 S 最小時 了。